什么是傅立叶变换
关于傅立叶变换，可以用果汁牛奶打一个比方：
- 什么是傅立叶变换：对于一杯果汁牛奶，能分析出其食谱（recipe）
- 如何进行傅立叶变换：运行果汁牛奶的过滤器（filters）,将各类成分（ingredient）分离（extract）出来
- 为什么要进行傅立叶变换：食谱要比果汁牛奶要容易分析、比较、修改得多
- 如何再变换回去：根据食谱将成分再混合到一起，就又得到果汁牛奶了
总之，对果汁牛奶进行傅立叶变换后，我们的视角（perspective）从消费者变成了生产者，从 “What did i see” 变成了 “How was it made”，Recipe 比 Object 本身更容易进行分析、比较、修改。
所谓“变换”，就是换个领域看问题（A Change Of Perspective），将某种情况下不易分析处理的领域换成易分析处理的领域
好，让我们看看真正的傅立叶变换，维基百科上的一张GIF图清晰明了，可以看出：
- 任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成（这些正弦曲线通过叠加逼近，直至误差可以忽略）
- 连续周期信号的表象是时域（time domain）波形，从时域上，我们很难进行分析、处理，因此我们需要从另外一个维度去分析信号，而傅立叶变换就是将信号从时域（Observations In The Time Domain）转换到频域（Ingredients In The Frequency Domain）。为什么要到频域呢？频率只是信号的一个特征，但是它可以用来识别信号，在频域可以得到信号的成分（ingredients），就像果汁牛奶一样，Recipe 比 Object 本身更容易分析、比较、修改
分离信号与傅立叶变换的应用
从上面可以看出，傅立叶变换说到底就是分离信号，可为什么要分离信号呢？其实信号只是信息的载体，信息无处不在且多种多样，因此信号的类型也多种多样，但是在传输的方式却比较少（每一种的容量非常大），例如声音、光线、电磁等等。由于同一种传输方式的容量非常大，将信道分成不同区域同时使用，信道的利用率大大的提高了。
但是问题来了：虽然对信道进行划分，但是信号在相同的信道中传输时，大自然不管你如何划分，都是按同样的方式传输，不同类型的信号被合在一起进行传输，就像上面的果汁牛奶，不管你把各类成分划分得如何清晰，果汁机出来就是混合过的果汁。这时，接受端就需要对信号进行分离，识别出不同的信号，进行分析处理。分离信号是我们最常见的事情，我们无时无刻不在进行，以至于根本没有注意到。例如，看到不同的颜色，尝到不同的味道，听到不同的声音（对于振动产生的声音，在传播时不管高低音，是缠在一起在介质中传输的，但是人耳可以分辨出）。
傅立叶变换只是分离信号方法中的一种（靠频率分离）,由此可以想到傅立叶变换的一些应用有：
- 滤波：将不需要的频率对应的信号过滤掉，只留下需要的信号
- 调频：基于滤波，只专注于特定频率的信号进行接受
- 去噪：通过分离，把噪声对应频率的信号处理掉，增强核心的信号
- 压缩：将那些不太重要的部分忽略掉，保留主要部分（有损压缩）。例如，JPEG对.bmp压缩，MP3对.wav压缩都是这种方式
参考资料
我喜欢那种深入浅出，生动有趣的资料，而不是死板的公式与定理，所以下面的资料都非常有趣，看完能很快对傅立叶变换有初步的理解：